牛顿的二项式定理推导

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牛顿的二项式定理推导，具体如下：

1、定理的推导

二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。

2、定理的概念

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

3、定理发展简史

二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。直到11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。

此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。

贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线。

而后经历发展，直到1665年，英国的牛顿将二项式定理推广到有理指数的情形。18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。

4、定理的意义

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为，推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。

根据二项式定理，(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+...+C(n,n)x^n

令x=1，则2^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=∑(k=0->n)C(n,k)

所以[∑(k=0->n)C(n,k)]^2=(2^n)^2=4^n

A(6,6)/（A(2,2)*A(2,2)）=180种排法。

英语和数学排列，有A(2,2)种，即不是英语在前，就是数学在前。这两种情况是等同的，所以把6门课的所有排列除以2就好了，同理，语文在政治前，就再除以2。。。。

二项式定理知识点总结及推导是如下：

1、二项式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展开式归纳猜想而来，并由排列组合的方法证明了这一归纳。

2、二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

3、二项式定理的系数具有对称性。在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；将它们绘成图像f(x)，图像关于x=n/2对称，即x=n/2为图像f(x)的对称轴。

4、二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。当n为偶数时，中间项是第n/2+1项最大；当n为奇数时，中间项为两项，即为第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1项的系数最大。

5、Cn+Cn+Cn+Cn=2，这也是（1+1）^2用二项式展开所得，同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^（n-1）。

首先我们要确定式子有多少项，从x系数入手，那么x必定只由一个带x的式子与数字相乘，数字为若干个1，带x的式子系数从1/2~1/2^n求和，解得x=4，然后确定x^2系数，则由两个带x的式子配合两个数字相乘求和，这道题其实本质是一道排列组合题，应用分配律去解

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