初等函数在其定义域内处处连续为什么是错的- 网上许多人说是对的？

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楼主你好,我手头的高等数学(同济第六版)P68页明确指出:

"一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间."

由此看来,定义区间和定义域是两个概念,后者是包含前者的.

通过百度,有的人是这样解释这个问题的: 定义区间是开区间,比如一个函数只在一个点有定义,那么它有定义域,却没有定义区间.

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如果举例的话,(个人意见)比方说√(1-x^2),其定义域为[-1,1],但是在x=1这个点它不是右连续的,不符合连续的定义.(注意同书P61页指出必区间连续时,对端点进行讨论时,用的是区间的概念,而不是定义域)

初等函数在定义区间内连续？

我错了我悔过

数学家经过一个一个证明分别把每个初等函数导数算法都列了出来

从而证明了他们在定义域内一定可导

elementary function

最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

① 常数函数。对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。②幂函数。形如y＝xa的函数，式中a为不等于零的常数。③指数函数。形如y＝ax的函数，式中a为不等于1的正常数。④对数函数。指数函数的反函数，记作y＝log a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax＝x。⑤ 三角函数。即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tgx，余切函数y＝ctgx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx（见三角学）。⑥反三角函数。三角函数的反函数 ——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反余弦函数 y＝arc cosx （－1≤x≤1，0≤y≤π），反正切函数 y=arc tgx ，反余切函数 y ＝ arc ctgx（－∞ ＜x＜＋∞ ，θ＜y＜π ）等。以上这些函数常统称为基本初等函数。

一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。

一切初等函数在其定义区间上都有原函数。

一切初等函数在其「定义区间」内都是连续的。

定义区间，顾名思义，在某个区间上的函数都是有定义的。孤立的点构不成区间。

“初等函数在其定义区间内可导”这句话是错的。y=|x|=√(x^2),这是一个初等函数，定义区间为（-∞，+∞），但在x=0处是不可导的。

高等数学中提到初等函数在定义区间（不是定义域）一定连续，函数如果在某些孤立的点有定义，那么这些点是在其定义域内的，但是这些孤立的点是不在其定义区间内的。总结就是：基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续。

初等函数简介：

由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）。

反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

“初等函数在其定义区间内都是连续函数” 对不对

答案：由于一切初等函数在其定义区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都是连续的，从而初等函数在其定义区间上都有原函数，但是一切初等函数在其定义域内都有初等原函数是不正确的。

正确。

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数y=α0+α1x，它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图象为抛物线。

两个整有理函数之比为分式有理函数。分式有理函数其中最简单的是反比例函数，其图象为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。

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